Question

一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0，（a≠0）两根记为x₁，x₂满足x₁₊x₂=-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

，试用上述知识解决问题：设x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，求：
①x₁+x₁x₂+x₂
②

1

x1

+

1

x2

         
③3x₁²-3x₁+x₂²．

Answer 1

分析：由x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，并将x=x₁代入得到一个关系式，
①将所求式子第1、3项结合，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值；
②将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值；
③将所求式子第1项拆项后整体代换，并利用完全平方公式变形，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=

3

2

，x₁x₂=-

1

2

，2x₁²-3x₁=1，
①x₁+x₁x₂+x₂=（x₁+x₂）+x₁x₂=

3

2

-

1

2

=1；
②

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

- 1 2

=-3；
③3x₁²-3x₁+x₂²=2x₁²-3x₁+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+

9

4

-（-1）=4

1

4

．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解时，设方程的两解分别为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．