题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为 
？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
【答案】
（1）解：如图1， 
令y=0代入y=ax2﹣4a，
∴0=ax2﹣4a，
∵a＞0，
∴x2﹣4=0，
∴x=±2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C，
∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cos∠PBC= 
，
∴BC=2，
由勾股定理可求得：PC=2 
，
∵OC=OB+BC=4，
∴P（4，2 ），
把P（4，2 ）代入y=ax2﹣4a，
∴2 =16a﹣4a，
∴a= 
，
∴抛物线解析式为；y= x2﹣ 
；
（2）解：∵点M在抛物线上，
∴n= m2﹣ ，
∴M的坐标为（m， m2﹣ ），
①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，
∴2≤m≤4，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D， 
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A（﹣2，0）与P（4，2 ）代入y=kx+b，
得： 
，
解得 
∴直线AP的解析式为：y= 
x+ ，
令x=m代入y= x+ ，
∴y= m+ ，
∴D的坐标为（m， m+ ），
∴DM=（ m+ ）﹣（ m2﹣ ）=﹣ m2+ m+ 
，
∴S△APM= 
DMAE+ DMCE
= DM（AE+CE）
= DMAC
=﹣ 
m2+ m+4
当S△APM= 
时，
∴ =﹣ m2+ m+4 ，
∴解得m=3或m=﹣1，
∵2≤m≤4，
∴m=3，
此时，M的坐标为（3， 
）；
②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，
∴﹣2≤m≤2，n＜0，
当﹣2≤m≤0时，
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ （m+ 
）2+ 
，
当m=﹣ 时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 
，
此时，M的坐标为（﹣ ，﹣ ），
当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，
当m= 时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，
此时，M的坐标为（ ，﹣ ），
综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）时，|m|+|n|的最大值为 ．
【解析】（1）首先令y=0得到关于x的方程，从而可求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，接下来，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；
（2）①过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，分别用含m的式子表示点D、M的坐标，然后代入△APM的面积公式DMAC，根据题意列出方程求出m的值；②根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当-2≤m≤0时，|m|=-m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值
