Question

已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
【小题1】（1）求证：EG=CG；
【小题2】（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．     
【小题3】（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

Answer 1

【小题1】（1）证明：如图①，在Rt△FCD中，
∵ G为DF的中点，
∴CG=FD．…………………………………………..1分
同理，在Rt△DEF中，EG=FD．
∴ CG=EG．…………………………………………….2分
【小题2】（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………….3分
证法一：如图②(一)，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．…………………………………………………..4分
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG ………………………………………………5分
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG与Rt△ENG中，
∵AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴EG=CG． …………………………………………………… 6分
证法二：如图②(二)，延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG 与△FMG中，
∵ FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴ △DCG ≌△FMG．
∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ………………………………..4分
∴ MF∥CD∥AB．
∴ ．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，……………………………………….5分
∵MF=CB，EF=BE，
∴ △MFE≌△CBE．.
∴ ．
∴ ∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． 
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG，∴ EG=MC．
∴ ．……………………………………………6分
【小题3】（3）如图③，（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．
其他的结论还有：EG⊥CG． ………………………..7分

解析