Question

四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可取值得个数共有

6

个．

Answer 1

分析：首先过B作BE∥CD交AD的延长线于E，根据题意即可得BE=CD，DE=BC，∠E=90°，可得AB是最长边，长为9或x，然后由勾股定理可得AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，然后分别从AB=x，CD为9或5或1；AB=9，CD=x或5或1去分析求解，即可求得答案．

解答：解：过B作BE∥CD交AD的延长线于E，
根据题意得：BE=CD，DE=BC，∠E=90°，
∴AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴AB是最长边，长为9或x，
若AB=x，CD=9，则x=

117

=3

13

；
若AB=x，CD=5，则x=

125

=5

5

；
若AB=x，CD=1，则x=

197

；
若AB=9，CD=x，则x=

45

=3

5

；
若AB=9，CD=5，则x=

81-25

-1=2

14

-1；
若AB=9，CD=1，则x=

81-1

-5=4

5

-5．
故答案为6．

点评：此题考查了勾股定理的应用与相似三角形的知识．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．