Question

在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为

2

、

3

，则∠BAC的度数为（　　）

A．60°

B．75°

C．60°或45°

D．15°或75°

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答：解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，
∵AB=

2

，AC=

3

，
∴AD=

2

2

，AE=

3

2

，
根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=

2

2

，
∴∠AOD=45°，
∵sin∠AOE=

3

2

，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAD=90°-∠AOD=45°，∠OAC=90°-∠AOE=30°
∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°；
②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°，∠AOE=60°，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAC=90°-∠AOE=90°-60°=30°，∠OAB=90°-∠AOD=90°-45°=45°．
∴∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°．
故选D．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．