Question

如图，AB为相交两圆⊙O₁与⊙O的公切线，且O₁在⊙O上，大圆⊙O的半径为4，则公切线AB的长的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：此题可以把公切线AB转换到由两圆的半径差、圆心距组成的直角三角形中；根据勾股定理，用半径表示公切线AB的长，再结合两圆的位置关系与数量之间的联系，进行分析解答．

解答：解：如图，设圆O₁的半径为R，连接OA，O₁B，OO₁，作O₁F⊥OA．
由四边形ABO₁F是矩形，得AB=FO₁；由勾股定理得，OO₁²=OF²+O₁F²，
即4²=O₁F²+（4-R）²，
整理得，AB=O₁F=

-R2+8R

=

-(R-4)2+16

，
由于两圆相交，则R的取值范围为：0＜R＜8，
∴0＜AB≤4，且当R=4时，AB=4．

点评：本题综合利用了切线的性质、勾股定理以及两圆的位置关系与数量之间的联系进行求解．