Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出该抛物线的对称轴及顶点D的坐标；
（3）若点P在抛物线上运动（点P异于点D），当△PAB的面积和△DAB面积相等时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（2）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴对称轴为直线x=2，
顶点D的坐标为（2，1）；

（3）∵△PAB的面积和△DAB面积相等，
∴点P的纵坐标与点D的纵坐标的绝对值相等，
∵点P异于点D，
∴点D的纵坐标为-1，
当y=-1时，-x²+4x-3=-1，
整理得，x²-4x+2=0，
解得x₁=2+，x₂=2-，
点P的坐标为（2+，-1）或（2-，-1）．
分析：（1）把点A、C的坐标代入抛物线，解方程组求出b、c即可得解；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点D的坐标即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标与点D的纵坐标的绝对值相等，然后代入抛物线解析式计算即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，等底等高的三角形的面积相等，（3）确定出点P的纵坐标是解题的关键．