题目内容
已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发向D点运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BM⊥CM；
（2）如图2，当a=
，b=4时，点M在运动的过程中，是否存在BM⊥CM？若存在，试确定此时M点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，点M在运动的过程中，是否存在BM⊥CM？若存在，试确定此时M点的位置；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BM⊥CM；
（2）如图2，当a=
| 3 |
（3）如图3，当b＜2a时，点M在运动的过程中，是否存在BM⊥CM？若存在，试确定此时M点的位置；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据b=2a，点M是AD的中点可知AB=AM=MD=DC=a，再根据在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，可知∠AMB=∠DMC=45°，故可得出结论；
（2）根据BM⊥CM可知∠BMC=90°，故可得出∠AMB=∠DMC=90°，由相似三角形的△ABM∽△DMC，根据相似三角形的对应边成比例可得出
=
，故可得出结论；
（3）根据BM⊥CM可知∠BMC=90°，设AM=x，由（2）可知x2-bx+a2=0，由b＜2a，a＞0，b＞0可知△=b2-4a2＜0，故可得出结论．
（2）根据BM⊥CM可知∠BMC=90°，故可得出∠AMB=∠DMC=90°，由相似三角形的△ABM∽△DMC，根据相似三角形的对应边成比例可得出
| AM |
| CD |
| AB |
| DM |
（3）根据BM⊥CM可知∠BMC=90°，设AM=x，由（2）可知x2-bx+a2=0，由b＜2a，a＞0，b＞0可知△=b2-4a2＜0，故可得出结论．
解答：（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，即BM⊥CM；
（2）解：存在．
理由：∵BM⊥CM，则∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴
=
设AM=x，则
=
，整理得：x2-4x+3=0，
解得x=3或x=1，即M点在边AD上且距A点为1或3个单位的位置；
（3）解：不存在．
理由：若BM⊥CM，则∠BMC=90°，设AM=x，由（2）可知x2-bx+a2=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2-4a2＜0，
∴方程没有实数根，即当b＜2a时，不存在BM⊥CM．
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，即BM⊥CM；
（2）解：存在．
理由：∵BM⊥CM，则∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴
| AM |
| CD |
| AB |
| DM |
设AM=x，则
| x | ||
|
| ||
| 4-x |
解得x=3或x=1，即M点在边AD上且距A点为1或3个单位的位置；
（3）解：不存在．
理由：若BM⊥CM，则∠BMC=90°，设AM=x，由（2）可知x2-bx+a2=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2-4a2＜0，
∴方程没有实数根，即当b＜2a时，不存在BM⊥CM．
点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，难度适中．
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