Question

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.

【小题1】求出点C的坐标
【小题2】求S随t变化的函数关系式；
【小题3】当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值

Answer 1

【小题1】把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.
∴C点的坐标为（1，4）.
【小题2】当y＝0时，－x＋＝0，
∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.
过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.
∴BC＝＝＝5.
∴sin∠ABC＝＝.
① 0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，
② 
则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.
∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t²＋t（0＜t＜4）. ……………2分
②当4＜t≤5时，
连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.
∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.
＝t²－t（4＜t≤5）. …………………………….3分
③当5＜t≤6时，
连接QO，QP.
S＝×OP×OD＝（t－4）×4.
＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分
S随t变化的函数关系式是.
【小题3】①当0＜t＜4时，

∵－<0
当t＝＝2时，
S_最大＝＝.  ……………………………5分
②当4＜t≤5时， S＝t²－t，对称轴为t＝－＝2，
∵>0
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.
∴当t＝5时，S_最大＝×5²－×5＝2. …………………………..6分
③当5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S_最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分解析:
（1）把y＝4代入直线解析式，即可求得点C的坐标；
（2）作垂线构建直角三角形，利用勾股定理和三角函数、面积的有关计算求得函数解析式，注意t的取值范围不同，S的解析式就不同。
（3）根据（2）中的三种情况，分别求出S的最大值。