Question

已知关于x的方程x²-（m-2）x-

m2

4

=0，
（1）求证：无论m为何值时，方程总有两不等的实根；
（2）若满足|x₁|-|x₂|=2（x₁、x₂为方程两实根），求m．

Answer 1

分析：（1）若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b²-4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
（2）利用求根公式解出方程的两根，再有条件x₁|-|x₂|=2，即可求出m的值．

解答：（1）证明：∵x²-（m-2）x-

m2

4

=0，
∴a=1，b=-m+2，c=-

m2

4

，
∴△=2（m-1）²+2，
∵2（m-1）²≥0，
∴2（m-1）²+2＞0，
所以无论m为何值时，方程总有两不等的实根；
（2）∵x₁•x₂=

c

a

=-

m2

4

≤0．
∴方程两根异号，
若x₁＞x₂，
则|x₁|-|x₂|=

-(m-2)+ 2(m-1) 2+2

2a

+

-(m-2)- 2(m-1) 2+2

2a

=2，
解得：m=0；
若x₁＜x₂，
则|x₁|-|x₂|=-

-(m-2)- 2(m-1) 2+2

2a

-

-(m-2)+ 2(m-1) 2+2

2a

=2，
解得：m=4．
综上可得m=0或4．

点评：本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．