Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2 cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x cm．
（1）当x=

 

秒时，射线DE经过点C；
（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为ycm²，求y与x的函数关系式（不用写出自变量取值范围）；
（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根据等腰三角形的性质，DE又是顶角的平分线，所以列出方程，求出x=2．
（2）由于四边形AQPB的形状不规则，所以可以用△ABC的面积减去△PQC的面积，而△PQC的面积可以用x表达，则四边形AQPB的面积也可以用x表达出来．
（3）假设存在，根据已知条件，易证△PQC∽△AMC，所以

QC

MC

=

PC

AC

，所以

2x

3

=

6-x

5

，即x=

18

13

．

解答：解：（1）x=2；
当DE经过点C时，∵DE⊥PQ，PD=QD，
∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x，得x=2，
∴当x=2时，当DE经过点C；

（2）分别过点Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足为M、N．
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴AM=

52-32

=4（cm），
∵QN∥AM，
∴△QNC∽△AMC，
∴

QN

AM

=

CQ

CA

，即

QN

4

=

2x

5

，
∴QN=

8

5

x，
又PC=6-x，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QN=

1

2

(6-x)•

8

5

x，
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

1

2

×6×4-

1

2

(6-x)•

8

5

x，
即y=

4

5

x2-

24

5

x+12；

（3）存在．
理由如下：
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE
此时，△PQC∽△AMC
∴

QC

MC

=

PC

AC

即

2x

3

=

6-x

5

∴x=

18

13

．

点评：本题需先证得三角形相似和待定系数法求二次函数解析式，再通过相似形的性质，解决问题，全面的考查了相似形的性质和判定．