Question

【题目】如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1= ∠CAB．

∵∠CBF= ∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，

∴sin∠1= ，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=ABsin∠1= ，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2 ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2 ，

∴sin∠2= = = ，cos∠2= = = ，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC∥BF，

∴△AGC∽△ABF，

∴

∴BF= =

【解析】（1）出现直径时，常作的辅助线为连接直径的端点和圆上一点可构成90度圆周角；（2）通过“过点C作CG⊥AB”可转化∠CBF为∠1，利用其正弦，由BE=ABsin∠1，求出BC=2BE=2 ,由勾股定理和△AGC∽△ABF可求出BF.
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键．