Question

如图，抛物线y=mx²+3mx-3（m＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且tan∠OCB=

1

3

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线解析式可求C（0，-3），在Rt△BOC中，已知tan∠OCB=

1

3

，OC=3，可求OB，确定B点坐标，代入抛物线解析式求m即可；
（2）依题意可知，点D（x，

3

4

x2+

9

4

x-3），连接OD，由S_△ACD=S_△AOD+S_△DOC-S_△AOC，求S的表达式，利用配方法求S的最大值及此时D点坐标；
（3）存在．分三种情况：①当以AC为边，CP也是平行四边形的边；②当以AC为对角线，CP为边；③当以AC为边，CP是平行四边形的对角线；结合图形的性质分别求解．

解答：解：（1）由抛物线y=mx²+3mx-3，得C（0，-3），
∵tan∠OCB=

1

3

，∠COB=90°，
∴

OB

OC

=

1

3

，∴B（1，0），
∵抛物线y=mx²+3mx-3（m＞0）过点B，
∴m+3m-3=0，∴m=

3

4

，
∴抛物线的解析式为y=

3

4

x2+

9

4

x-3；

（2）如图1，∵抛物线对称轴为x=-

3

2

，B（1，0），∴A（-4，0）连接OD，
∵点D在抛物线y=

3

4

x2+

9

4

x-3上，
∴设点D（x，

3

4

x2+

9

4

x-3），
则S_△ACD=S_△AOD+S_△DOC-S_△AOC
=

1

2

×4(-

3

4

x2-

9

4

x+3)+

1

2

×3(-x)-

1

2

×4×3
=-

3

2

x2-6x，
∴S=-

3

2

(x+2)2+6，
∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6．
此时，点D的坐标为（-2，-

9

2

）．

（3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时，CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）．
②如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3）．
③如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，
则

3

4

x2+

9

4

x-3=3，解得x=

-3± 41

2

，
此时P（

-3- 41

2

，3）（如图4），或（

-3+ 41

2

，3）（如图5），


综上所述，存在三个点符合题意，分别是P₁（-3，-3），P₂（

-3- 41

2

，3），P₃（

-3+ 41

2

，3）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．