Question

【题目】在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．

（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；

（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）无变化；（3），，

【解析】分析：(1)阴影部分不是一个规则图形，它的面积等于S阴＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA′＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′；(2)证明△OAE≌△OCN(AAS)，△OME≌△OMN(SAS)，得到p＝MN＋BN＋BM＝AB＋BC；(3)S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，即是要求m的最小值，设AM＝n，在Rt△BMN中，由勾股定理得到关于n的一元二次方程，根据△≥求m的最小值，直角三角形的内切圆的半径等于直角边的和与斜边差的一半.

详解：解：(1)如图，S阴＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA′B′﹣S扇形OAA′

＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′＝﹣.

(2)p值无变化

证明：延长BA交y轴于E点，

在△OAE与△OCN中，

∠AOE＝∠CON＝90°－∠AON，∠OAE＝∠OCN＝90°，OA＝OC，

∴△OAE≌△OCN(AAS)，∴OE＝ON，AE＝CN.

在△OME与△OMN中，

OE＝ON，∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝OM，

∴△OME≌△OMN(SAS)，∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN，

∴p＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

(3)设AM＝n，则BM＝1﹣n，CN＝m﹣n，BN＝1﹣m＋n，

∵△OME≌△OMN，∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，

在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，

∴(1﹣n)2＋(1﹣m＋n)2＝m2，化简得，n2﹣mn＋1﹣m＝0

∴△＝m2﹣4(1﹣m)≥0，解得，m≥﹣2或m≤﹣﹣2，

∴当m＝﹣2时，△OMN的面积最小为﹣1．

此时n＝﹣1，

则BM＝1﹣n＝2﹣，BN＝1﹣m＋n＝2﹣，

∴Rt△BMN的内切圆半径为＝3﹣．