题目内容

已知，如图，在△ABC中，BC=2，AC=2 $数学公式$ ，AB=4，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于E，以B为圆心，BC为半径画弧交AB于F，则图中的阴影部分的面积是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：先根据勾股定理的逆定理，由BC=2，AC=2 $\text{[math]}$ ，AB=4，得到△ABC为直角三角形，且∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°；然后根据
扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ 分别计算出S_扇形ACE，S_扇形BCF，并且求出三角形ABC的面积，最后由S_阴影部分=S_扇形ACE+S_扇形BCF-S_△ABC即可得到答案．
解答：∵BC=2，AC=2 $\text{[math]}$ ，AB=4，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°，
S_阴影部分=S_扇形ACE+S_扇形BCF-S_△ABC，
∵S_扇形ACE= $\text{[math]}$ =π，
S_扇形BCF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
S_△ABC= $\text{[math]}$ ×2×2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴S_阴影部分=π+ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S= $\text{[math]}$ lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了勾股定理的逆定理以及含30度的直角三角形三边关系．