题目内容
如图1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分线，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在图1中，∠AOC的度数为______；与线段BO相等的线段为______；
（2）将图1中的△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，如图2，连接AA1，BC1，试判断S△AOA1与S△BOC1的大小关系？并给出你的证明；
（3）将图1中的△ABO绕点B顺时针旋转得到△MBN，如图3，点P为MC的中点，连接PA、PN，求证：PA=PN．
（1）在图1中，∠AOC的度数为______；与线段BO相等的线段为______；
（2）将图1中的△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，如图2，连接AA1，BC1，试判断S△AOA1与S△BOC1的大小关系？并给出你的证明；
（3）将图1中的△ABO绕点B顺时针旋转得到△MBN，如图3，点P为MC的中点，连接PA、PN，求证：PA=PN．
（1）∵AB=AC，AO是∠BAC的角平分线，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；
（2）S△AOA1=S△BOC1
．
证明：过点O作MN⊥BC1于M，交AA1于N，
∵OB=OC1，
∴BM=C1M，∠BOM=∠C1OM，
∵∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A1ON+∠C1OM=90°，
∴∠AON=∠A1ON，
∵AO=A1O，
∴ON⊥AA1，
∴∠A1NO=90°=∠OMC1，
∵在△OMC1和△A1ON中
∴△A1ON≌△OC1M（AAS），
∴△A1ON和△OC1M的面积相等，
同理可证△AON和△OBM的面积相等，
∴S△AOA1=S△BOC1；
（3）证明：延长NP至E，使PE=NP，连接CE，AN，AE，
∵点P为MC的中点，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中
，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
设EC的延长线交BN的延长线于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴在四边形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵点P为NE的中点，
∴PA=PN（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）．
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；
（2）S△AOA1=S△BOC1
．
证明：过点O作MN⊥BC1于M，交AA1于N，
∵OB=OC1，
∴BM=C1M，∠BOM=∠C1OM，
∵∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A1ON+∠C1OM=90°，
∴∠AON=∠A1ON，
∵AO=A1O，
∴ON⊥AA1，
∴∠A1NO=90°=∠OMC1，
∵在△OMC1和△A1ON中
|
∴△A1ON≌△OC1M（AAS），
∴△A1ON和△OC1M的面积相等，
同理可证△AON和△OBM的面积相等，
∴S△AOA1=S△BOC1；
（3）证明：延长NP至E，使PE=NP，连接CE，AN，AE，
∵点P为MC的中点，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中
|
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
设EC的延长线交BN的延长线于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴在四边形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中
|
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵点P为NE的中点，
∴PA=PN（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）．
练习册系列答案
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