Question

如图，矩形ADEF与y轴的正半轴交于点C，点D坐标为（-4，3），点B坐标为（-2，0），∠EBF=45°，点P从点Q（5，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）点A坐标为

（-4，0）

；点E坐标为

（1，3）

；
（2）若∠BEP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PE为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABED的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质可知点E与点D纵坐标相等，点A与点D横坐标相等，又x轴上纵坐标为0，求出点A坐标为（-4，0）；由△EBF为等腰直角三角形得出BF=EF=DA=3，又点B坐标为（-2，0），得到OF=1，进而求出点E的坐标为（1，3）；
（2）分点P在点B右侧及点P在点B左侧两种情况进行讨论；
（3）由于⊙P是以点P为圆心，PE为半径的圆，而点P是从点Q（5，0）出发，沿x轴向左运动，所以⊙P不可能与AB相切，那么当⊙P与四边形ABED的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况进行讨论：①⊙P与BE相切于点E；②⊙P与ED相切于点E；③⊙P与AD相切．

解答：解：（1）∵矩形ADEF中，点D坐标为（-4，3），
∴点A坐标为（-4，0），点E纵坐标为3，EF=DA=3．
在直角△EBF中，∠EBF=45°，
∴BF=EF=3，
∵点B坐标为（-2，0），OB=2，
∴OF=BF-OB=3-2=1，
∴点E的坐标为（1，3）．
故答案为（-4，0），（1，3）；

（2）∵点Q（5，0），点F的坐标为（1，0），
∴QF=5-1=4．
点P从点Q（5，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，若∠BEP=15°时，可分两种情况：
①当点P在点B右侧时，
∵∠BEP=15°，
∴∠FEP=∠BEF-∠BEP=45°-15°=30°．
在△PEF中，∵∠PFE=90°，∠FEP=30°，EF=3，
∴FP=

3

，
∴QP=QF+FP=4+

3

，
∴t=4+

3

；
②当点P在点B左侧时，
∵∠BEP=15°，
∴∠FEP=∠BEF+∠BEP=45°+15°=60°，
在△PEF中，∵∠PFE=90°，∠FEP=60°，EF=3，
∴FP=3

3

，
∴QP=QF+FP=4+3

3

，
∴t=4+3

3

；
故t的值为4+

3

或4+3

3

；

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABED的边（或边所在的直线）相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BE相切于点E时，连接EP，则有∠BEP=90°，
∴∠FEP=∠BEP-∠BEF=90°-45°=45°，
∴FP=EF=3，
∴PQ=QF-FP=4-3=1，
∴t=1；

②当⊙P与ED相切于点E时，有PE⊥ED，即点P与点F重合，
∵QP=QF=4，
∴t=4；

③当⊙P与AD相切时，连接EP，则有PE=PA=QA-QP=9-t，∠DAP=90°，
在△PEF中，∵∠PFE=90°，PE=9-t，EF=3，PF=t-4，
∴PE²=PF²+EF²，即（9-t）²=（t-4）²+3²，
解得：t=5.6．

综上可知，当⊙P与四边形ABED的边（或边所在的直线）相切时，t的值为1或4或5.6．

点评：本题是圆的综合题，涉及到矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度不是很大，进行分类讨论是解题的关键．