Question

已知二次函数y=ax²+4ax+4a-1的图象是C₁．
（1）求C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，设抛物线C₁、C₂与y轴的交点分别为A、B，当AB=18时，求a的值．

Answer 1

解：（1）由y=a（x+2）²-1，可知抛物线C₁的顶点为M（-2，-1）．
由图知点M（-2，-1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），
以N（4，1）为顶点，与抛物线C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂也是抛物线，
且C₁与C₂的开口大小相同且方向相反，
故抛物线C₂的函数解析式为y=-a（x-4）²+1，
即y=-ax²+8ax-16a+1．

（2）令x=0，
得抛物线C₁、C₂与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1．
∴AB=|（4a-1）-（-16a+1）|=|20a-2|．
∴|20a-2|=18．
当时，有20a-2=18，得a=1；
当a＜时，有2-20a=18，得．
分析：（1）因为C₁和C₂关于点R（1，0）中心对称，所以它们的顶点也中心对称．先求出y=ax²+4ax+4a-1的顶点坐标，再根据中心对称的定义求出C₂的顶点坐标，便可进一步求出C₂的函数解析式；
（2）把x=0代入解析式即可得到A、B点的纵坐标，将纵坐标相减，其差的绝对值即为18，可列出等式求出a的值．
点评：此题将中心对称的问题与二次函数解析式相结合，同时考查了二次函数图象的性质以及坐标轴上点的距离公式，特别是（2）还涉及到分类讨论思想，是一道好题．