Question

已知如图，所对弦AB=，弓形的高CD为4，求这个弓形ACB的面积．

Answer 1

解：连接OA、OB、OD，
∵AB是⊙O的弦，CD是弓形的高，
∴D是弦AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴O、D、C三点共线，
在Rt△ODA中，设OA=r，则OD=r-4，
根据勾股定理OA²=OD²+AD²，
即r²=（r-4）²+（4）²，
∴r=8，
∴OD=8-4=4，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，
根据圆及弦的性质得∠BOD=∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_扇形OAB=120°÷360°×πr²=π×8²=π，
又S_△AOB=AB•OD=×8×4=16，
∴S_弓形ACB=S_扇形OAB-S_△AOB，
=π-16，
=．
分析：构造直角三角形，利用勾股定理求出半径，就可以知道OD的长度；再根据直角三角形边的值，确定出扇形的圆心角，也就可以求出扇形的面积和三角形OAB的面积，从而弓形的面积也就得到了．
点评：构造直角三角形利用勾股定理求出圆的半径是解题的关键．