题目内容

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（3）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-
3
2
（x-
1
2
）2+
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8
，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC═-
3
2
（x-
1
2
）2+
27
8
，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值．
解答：解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

-1-b+c=0
  -4+2b+c=3  
，
解得
b=2
c=3
，
故抛物线为y=-x2+2x+3；
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3），
得
-k+n=0 
2k+n=3
，
解得
k=1
n=1
，
故直线AC为y=x+1；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=1时，y=x+1=2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
∵F在抛物线上，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得x=
1-
17
2
或x=
1+
17
2
，
∴E（
1-
17
2
，
3-
17
2
）或（
1+
17
2
，
3+
17
2
），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（
1-
17
2
，
3-
17
2
）或（
1+
17
2
，
3+
17
2
）；

（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=
1
2
PQ•AG
=
1
2
（-x2+x+2）×3
=-
3
2
（x-
1
2
）2+
27
8
，
∴面积的最大值为
27
8
；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=
1
2
（x+1）（-x2+2x+3）+
1
2
（-x2+2x+3+3）（2-x）-
1
2
×3×3
=-
3
2
x2+
3
2
x+3
=-
3
2
（x-
1
2
）2+
27
8
，
∴△APC的面积的最大值为
27
8
．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，有一定难度．解答（2）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
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（2）求直线BC的函数解析式；
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如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
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如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件
-2＜x＜0
-2＜x＜0
时，y＜-3；
     ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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