Question

【题目】如图，正方形 的边长是3， ，连接 交于点 ，并分别与边 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ.
∴△DAP≌△ABQ.
∴∠P=∠Q.
∴∠P+∠QAB=∠Q+∠QAB=90°.
∴AQ⊥DP.
故①正确.
②在Rt△DAP中，AO⊥DP.
∴△AOD∽△POA
∴=.
∴OA2=PO.OD.
∵OD≠OE.
故②错误.
③∵正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ.
∴△QCF≌△PBE.
∴CF=BE.
∵BC=DC.
∴DF=CE.
∴△ADF≌△DEC.
∴S△ADF-S△DOF=S△DEC-S△DOF.
∴SΔAOD=S四边形OECF.
故③正确.
④∵BP=1时，AP=4.
∴△AOP∽△DAP.
∴==.BE=
∴QE=
∴△QOP∽△PAD.
∴===.
解得QO=,OE=,AO=5-QO=
∴tanOAE==.
故④正确.
所以答案是C.
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能得出正确答案．