Question

已知四边形ABCD，连接AC、BD交于点O，且满足条件：AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，
（1）若AB=AD，求证：∠BAC=∠BCA；
（2）若AB＞AD，当OD绕点O逆时针旋转180°时，点D能否落在线段OB上，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB+DC=AD+BC，AB=AD，
∴DC=BC，
∵AB²+AD²=BC²+DC²，
∴AB=AD=BC=DC，
∴∠BAC=∠BCA；

（2）当OD绕点O逆时针旋转180°时，点D能落在线段OB上．
∵AB²+AD²=BC²+DC²，
∴AB²-DC²=BC²-AD²，
∴（AB+DC）（AB-DC）=（AD+BC）（BC-AD），
∵AB+DC=AD+BC，
∴AB-DC=BC-AD，
∴AB=BC，DC=AD，
∴BD垂直平分AC，且OB＞OD，
∴当OD绕点O逆时针旋转180°时，点D能落在线段OB上．
分析：（1）由AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，AB=AD，可得AB=AD=BC=DC，然后由等边对等角，即可证得∠BAC=∠BCA；
（2）由AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，可证得AB=BC，DC=AD，又由AB＞AD，可得BD垂直平分AC，且OB＞OD，即可得当OD绕点O逆时针旋转180°时，点D能落在线段OB上．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及平方差公式的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．