Question

课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作的相关问题。如图l，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形纸片，测得AB =10，AD =8。观察计算：
(l)将△EFG的顶点 G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度，探索发现。  
(2)如图3，在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分而积为y，求在平移的过程中，y与x之间的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值。  

Answer 1

解：(1)如图1，过B作BM⊥AE于M  
∵AB=BE =10，BC=8，
∴CE=6，
∴DE=4，
∴AE=
∵AB= BE, BM⊥AE
∴ EM=，
∴BM    
∵∠FBE= ∠BME= 90°，
∴∠FEB=∠FEB
∴△BEM∽△FEB，
∴
∴FB=FG= 20  
(2)①当0≤x≤8时，如图2，设AB、EF交点为H，  
由(1)可知：FG=20，EG=10，  
∴F =，  
∵BC =x，
∴BF =20 -x  
∴BH= 
∴y=
令y =20，得x₁=20-，得=20+，（舍去)
②当8<x≤20时，如图3，设EF分别交AB、CD于点M、N, 
 ∵BF=20 -x，
∴BM=
∵FC =FG - CG =20 -(x-8)=28 -x,                        
∴NC=
∴y=
令y=20，得x=19
综上，当0≤x≤8时，y= ；  
当8 <x≤20时，y= - 4x+96  
当y=20时，x=20 - 或x=19