Question

已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，过B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，作B₂B₃平分∠AB₂B₁，交AC于B₃，过B₃作B₃B₄∥BC，交AB于B₄…依次进行下去，则B₉B₁₀线段的长度用含有m的代数式可以表示为

 

．

Answer 1

分析：因为过B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，所以△AB₂B₁∽△ABC，相似三角形的对应边对应成比例，因为AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，所以△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC的长，根据相似三角形对应线段成比例，可求出B₂B₁的长，进而同理可求出B₉B₁₀的长，设B₂B₁是x，则B₂B是x．

解答：解：∵AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，
∴△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，
∵过B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，
∴

AB2

AB

=

B2B1

BC

，
∵BC=AB²+AC²-2AB•ACcos36°，
∴BC=

3- 5 2

m，
设B₂B₁是x，则B₂B是x．
∴

m-x

m

=

x

3- 5 2 m

，
∴x=

3- 5 2   m2

m+ 3- 5 2 m

即：x=

3- 5 2 m

1+ 3- 5 2

．
同理可求出B₉B₁₀=(

5 -1

2

)6m．
故答案为：(

5 -1

2

)6m．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出BC的长，找出规律求出值．