Question

已知，直角梯形ABCD的边AB=a，BC=b，CD=c，腰AD是⊙O的直径，直角腰BC交⊙O于E、F，求证：tan∠BAE和tan∠BAF是ax²-bx+c=0的两根．

Answer 1

分析：通过作辅助线，过O作OH⊥CB于H，BA的延长线与⊙O交于G，连DG，构建矩形BCDG，可得，BE=AB，BG=CD，BE=CF，从而，利用二次函数根与系数的关系，可解答．

解答：证明：过O作OH⊥CB于H，BA的延长线与⊙O交于G，连DG，
∵∠C=∠B=90°，∠DGA=90°，
∴四边形BCDG是矩形，
∴CD=BG，AB=BE，
∵OF=OE，O为AD中点，
∴H为EF和BC的中点，
∴BH=CH，
∵EH=HF，
∴BE=CF，
∴tan∠BAE+tan∠BAF=

BE

AB

+

BF

AB

=

CF+BF

AB

=-

b

a

，
tan∠BAE×tan∠BAF=

BE

AB

×

BF

AB

=

AB×BG

AB×AB

=

c

a

；
∴tan∠BAE和tan∠BAF是ax²-bx+c=0的两根；

点评：本题考查了直角梯形以及二次函数根与系数的关系，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．