Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是

AE

的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=

1

2

，BC=2

3

．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．

解答：（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=

1

2

∠BOE=30°．（2分）

（2）证明：在△ABC中，∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切线．（3分）

（3）解：∵点M是

AE

的中点，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2

3

，
∴AB=BC•tan60°=2

3

×

3

=6．（2分）
∴OA=

AB

2

=3，
∴OD=

1

2

OA=

3

2

，
∴MD=

3

2

．（3分）

点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．