Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD＝3，若在x轴上存在以动点Q，使PQ+QB最小，若存在，请直接写出此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）（3）（2.5，0）

【解析】

（1）把A（﹣1，0）和B（3，0），代入到抛物线的解析式，即可解答

（2）存在，分三种情况讨论，①EF可由AC平移得到，C、E为对应点，A、F为对应点，再把F点代入直线AD的解析式为y＝x+，即可解答②如图2所示，此时点F与点D重合，即可解答③如图3所示，根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，

代入解析式即可解答

（3）如图4所示，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N，过点P作PH垂直于BN，与x轴的交点即为点Q，设直线BN的解析式为y＝x+b，过点B（3，0），求出BN的解析式，再利用解析式算出M,N的值，再算出PQ+QB＝PQ+QH，当P、Q、H三点共线时，PQ+QB最小，即为PH，即可解答

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），

∴，

解得，，

∴抛物线的解析式为：；

（2）存在，分三种情况讨论，

①如图1所示，

∵四边形ACEF为平行四边形，

∴EF可由AC平移得到，C、E为对应点，A、F为对应点，

∵C（0，），点E的横坐标为1，

∴向右平移了一个单位，

∵A（﹣1，0），

∴F的横坐标为0，

∵直线AD的解析式为y＝x+，

∴当x＝0时，y＝，

∴F（0，）．

②如图2所示，

此时点F与点D重合，

∴F（2，）．

③如图3所示，

根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，

当x＝﹣2时，y＝﹣，

∴F（﹣2，﹣）．

综上所述：点F的坐标为（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）．

（3）如图4所示，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N，过点P作PH垂直于BN，与x轴的交点即为点Q，

设直线BN的解析式为y＝x+b，过点B（3，0），

解得b＝﹣，

∴直线BN的解析式为y＝x﹣，

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴N（1，﹣1），

设直线AD与抛物线的对称轴的交点为点M，

∴M（1，1），

∵S△ADP＝PM（xD﹣xA）＝3，

∴PM＝2，

∴P（1，3），

∵tan∠ABN＝，

∴QB＝QH，

∴PQ+QB＝PQ+QH，

span>∴当P、Q、H三点共线时，PQ+QB最小，即为PH，

∵PN＝4，∠NPH＝∠ABN，

∴PH＝．

∴PQ+QB的最小值为，

此时点Q（2.5，0）．