Question

如图，抛物线y=﹣（x﹣1）²+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；

（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形；

（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

（II）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．

解答：

解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）²+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）²+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）²+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．

（2）△CDB为直角三角形．理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．

如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD===；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．

∵BC²+CD²=BD²，

∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，

直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6．

连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）．

在△COB向右平移的过程中：

（I）当0＜t≤时，如答图2所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

设QE与BD的交点为F，则：，解得，∴F（3﹣t，2t）．

S=S_△QPE﹣S_△PBK﹣S_△FBE=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•y_F=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=t²+3t；

（II）当＜t＜3时，如答图3所示：

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．

直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S_△PBJ﹣S_△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）²=t²﹣3t+．

综上所述，S与t的函数关系式为：

S=．

点评：

本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系．