Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，CB的延长线交过A、B、D三点的圆于点E．
（1）判断线段AE与CE之间的数量关系，并加以证明；
（2）若过A、B、D三点的圆记为⊙O，过E点作EF⊥AE于点E，与AC的延长线交于点F，且CD：CF=1：2，求：S_△BAE：S_△AEF的值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由于点D是AC的中点，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，BD=CD?∠CDB=∠DCB，又根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的外角等于它的内对角”知∠CBD=∠CAE，故∠CAE=∠ACE?AE=CE；
（2）由于CD：CF=1：2和CD=

1

2

AC，故有AC=CF，即点C是Rt△AEF的斜边上的中点，有AC=CE，则可得△ACE是等边三角形，即可求得∠FAE=∠AEC=60°，然后由三角函数的性质，求得AB：EF=1：2，易证得△ABE∽△FEA，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△BAE：S_△AEF的值．

解答：（1）答：AE=CE；
证明：连接BD，
∵点D是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BD=CD=

1

2

AC，
∴∠CBD=∠DCB，
又∵四边形ADBE是圆内接四边形，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE；

（2）解：∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°；
∵CD：CF=1：2，CD=

1

2

AC，
∴AC=CF，
∴AC=CE，
由（1）知AE=CE，
∴AE=CE=AC，
即△ACE是等边三角形，
∴∠FAE=∠AEC=60°，
∵∠ABE=90°，
∴在Rt△ABE中，sin60°=

AB

AE

=

3

2

，
在Rt△AEF中，tan60°=

EF

AE

=

3

，
∴AB：EF=1：2，
∵∠ABE=∠AEF=90°，∠AEB=∠EAF=60°，
∴△ABE∽△FEA，
∴S_△BAE：S_△AEF=1：4．

点评：此题考查了圆的内接四边形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角函数的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．