Question

【题目】点D是△ABC中∠BAC的平分线和BC的垂直平分线的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．

（1）求证：BG＝CH；

（2）若AB＝12，AC＝6，则BG＝　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC；依据角平分线的性质可得DG＝DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）由Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG＝AH，进而得出答案．

（1）证明：如图，连接BD、CD，

∵D是线段BC垂直平分线上的点，

∴BD＝DC，

∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC

∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，

在Rt△BDG和Rt△CDH中，，

∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），

∴BG＝CH；

（2）解：∵在Rt△ADG与Rt△ADH中，

Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），

∴AG＝AH，

∴AB﹣AC＝AG+BG﹣（AH﹣CH）＝2BG＝12﹣6＝6，

∴NG＝3；

故答案为：3．