Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半径为1，则AE的长为（　　）

• A．

  3

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  3 3

  4

Answer 1

分析：作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，根据等边三角形的性质得∠BOC=120°，则∠OBC=30°，可计算得OH=

1

2

，BH=

3

2

，再根据垂径定理得BC=2BH=

3

；然后根据切线的性质得OB⊥DB，易判断四边形BDFO为矩形，则DF=OB=1，设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，接着根据切割线定理得到
BD²=1-x²，然后在Rt△ABD中利用根据定理可得到（1+x）²+1-x²=（

3

）²，解得x=

1

2

，由此得到AE=2x=1．

解答：解：作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBH中，OH=

1

2

OB=

1

2

，
∴BH=

3

OH=

3

2

，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=

3

，
∴AB=

3

，
∵BD切⊙O于B，
∴OB⊥DB，
而AD⊥BD，OH⊥BC，
∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF，
∴四边形BDFO为矩形，
∴DF=OB=1，
设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，
∵BD⊙O的切线，
∴BD²=DE•DA=（1-x）（1+x）=1-x²，
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴（1+x）²+1-x²=（

3

）²，解得x=

1

2

，
∴AE=2x=1．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、切割线定理和等边三角形性质．