题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5，AD=8，CD=3，线段AD上有一动
点E，以E点为圆心，作一个圆E与线段AB相切于点F，（1）求sinA的值；
（2）若设DE=x，EF=y，试写出y关于自变量x的函数关系式和x的取值范围；
（3）当△AEF与△CED相似时，求DE的长．
分析：（1）首先过点B作BH⊥AD于H，易证得四边形BCDH是矩形，即可求得BH的值，然后由sinA=
，即可求得答案；
（2）由DE=x，AD=8，即可求得AE的长，又由⊙E与AB相切于F点，即可得sinA=
，又由（1）可得
=
，继而求得y关于自变量x的函数关系式和x的取值范围；
（3）分别从△AEF∽△CED与△AEF与△ECD去分析，根据三条对应边的比相等的三角形相似，即可求得答案．
| BH |
| AB |
（2）由DE=x，AD=8，即可求得AE的长，又由⊙E与AB相切于F点，即可得sinA=
| EF |
| AE |
| y |
| 8-x |
| 3 |
| 5 |
（3）分别从△AEF∽△CED与△AEF与△ECD去分析，根据三条对应边的比相等的三角形相似，即可求得答案．
解答：解：（1）过点B作BH⊥AD于H，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BHD=∠D=∠DCB=90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BH=CD=3，
∴sinA=
=
；（2分）
（2）∵DE=x，AD=8，
∴AE=8-x，
∵⊙E与AB相切于F点，
∴∠AFE=90°，
∴sinA=
，
即
=
，
∴y=
（4分），
其中定义域为
≤x＜8；（（1分）
（3）当△AEF∽△CED相似时，
=
=
，
即
=
=
，
解得x=
，（2分）
当△AEF∽△ECD相似时，
=
=
，
即
=
=
，
解得x=4．（2分）
∴DE的长为
或4．
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BHD=∠D=∠DCB=90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BH=CD=3，
∴sinA=
| BH |
| AB |
| 3 |
| 5 |
（2）∵DE=x，AD=8，
∴AE=8-x，
∵⊙E与AB相切于F点，
∴∠AFE=90°，
∴sinA=
| EF |
| AE |
即
| y |
| 8-x |
| 3 |
| 5 |
∴y=
| 24-3x |
| 5 |
其中定义域为
| 7 |
| 4 |
（3）当△AEF∽△CED相似时，
| AE |
| CE |
| EF |
| ED |
| AF |
| CD |
即
| 8-x | ||
|
| ||
| x |
| ||
| 3 |
解得x=
| 9 |
| 4 |
当△AEF∽△ECD相似时，
| AE |
| EC |
| EF |
| CD |
| AF |
| ED |
即
| 8-x | ||
|
| ||
| 3 |
| ||
| x |
解得x=4．（2分）
∴DE的长为
| 9 |
| 4 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角梯形的性质以及圆的切线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
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