Question

已知a为实常数，关于x的方程（a²-2a）x²+（4-6a）x+8=0的解都是整数．求a的值．

Answer 1

分析：此题可考虑分2种情况讨论：（1）当a²-2a=0，可先解出a的值，再把a的值代入方程求解x；（2）当a²-2a≠0时，用因式分解可求x₁=

2

a

，x₂=

4

a-2

，从x₁=

2

a

中可求a=

2

x1

，代入x₂中，易得x₁•x₂+2x₁-x₂=0，变形可得（x₁-1）（x₂+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，由于x₁和x₂是整数，那么x₁-1和x₂+2也是整数，于是可得关于x₁、x₂的方程组，解即可求x₁、x₂（都等于0的情况舍去），进而可求a，联合（1）（2）可最终求出a的值．

解答：解：（1）当a²-2a=0，即a=2或a=0时有
A、a=2时，x=-2满足要求；
B、a=0时，x=1也满足要求；
（2）当a²-2a≠0时，
（ax-2）[（a-2）x-4]=0，
解得x₁=

2

a

，x₂=

4

a-2

，
∴a=

2

x1

，
∴x₂=

4

2 x1 -2

，
∴x₁•x₂+2x₁-x₂=0，
∴（x₁-1）（x₂+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，
∵x₁和x₂是整数，
∴x₁-1和x₂+2也是整数，
∴

x1-1=2 x2+2=-1

或

x1-1=-2 x2+2=1

或

x1-1=1 x2+2=-2

或

x1-1=-1 x2+2=2

，
解得

x1=3 x2-3

或

x1=-1 x2=-1

或

x1=2 x2=-4

或

x1=0 x2=0

（此情况舍去），
∴a=

2

3

；-2；1．
综合（1）（2）知a=0；1；±2；

2

3

．

点评：本题考查了一元二次方程的整数根．解题的关键是要分2种情况讨论．有一定的难度．