Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．
求证：（1）AF=CE；
（2）BF²=EF•AF．

Answer 1

（1）证明：∵DA=DB，
∴∠FBA=∠EAC，
∵∠AFD=∠BEC，
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC，
即∠BFA=∠AEC．
∵在△BFA和△AEC中
，
∴△BFA≌△AEC（AAS）．
∴AF=CE．

（2）解：∵△BFA≌△AEC，
∴BF=AE．
∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，
∴△EFA∽△EAC．
∴．
∴EA²=EF•CE．
∵EA=BF，CE=AF，
∴BF²=EF•AF．
分析：（1）根据全等三角形的判定方法得出△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答案；
（2）根据∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，得出△EFA∽△EAC，进而求出，即可得出BF²=EF•AF．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定，根据已知得出∠BFA=∠AEC是解题关键．