题目内容

已知二次函数f（x）=x²+px+q，且方程f（x）=0与f（2x）=0有相同的非零实根．
（1）求 $数学公式$ 的值．（2）若f（1）=28，解方程f（x）=0．

解：（1）设f（x）=0的两根为x₁、x₂，且x₁≤x₂则f（x）=0，即x²+px+q=0 ①
f（2x）=0，即（2x）²+p（2x）+q=0 ②
①×4-②得 2px+3q=0，即 x= $\text{[math]}$ ③
②-①×2得 2x²-q=0，即 x²= $\text{[math]}$ ④
将③代入④得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）∵f（1）=28，即：1+p+q=28 ⑤
由（1）知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ⑥
联立两方程求得 p=9，q=18，或p= $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$
当p=9，q=18时，f（x）=x²+9x+18
f（x）=0，即x²+9x+18=0
解得x₁=-3，x₂=-6；
当p= $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$
f（x）=0，即 $\text{[math]}$
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=9
故f（0）的两组解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
分析：（1）首先根据题意写出二次函数f（x）=x²+px+q=0、f（2x）=（2x）²+p（2x）+q=0的．再利用加减消元法、代入法抵消掉x即可求出 $\text{[math]}$ 的值．
（2）根据f（1）=28可列出1+p+q=28，再根据（1）式可知p、q的关系，联立可解出p、q的值．代入方程f（x）=0，即可取出x的具体解．
点评：本题是一道二次函数的综合题目．解决本题的关键是根据方程f（x）=0与f（2x）=0有相同的非零实根，确定出p、q的值．