Question

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值，请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当∠BAC= 90°时，依问题中的条件补全下图，观察图形，AB与AC的数量关系为____；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为____；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为：____；
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

Answer 1

解：（1）如图（1），相等15°；1/3；
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同， 证明：如图（2），作∠KCA= ∠BAC， 过B点作BK//AC交CK于点K，连接DK， ∵∠BAC≠90°， ∴四边形ABKC是等腰梯形， ∴CK=AB， ∵DC=DA，  ∴∠DCA=∠DAC， ∵∠KCA=∠BAC， ∴∠KCD=∠3， ∴△KCD≌△BAD， ∴∠2=∠4，KD= BD， ∴KD=BD=BA=KC， ∵BK//AC， ∴∠ACB=∠6， ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6， ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB， ∴∠KBD=60°， ∵∠ACB=∠6=60°- ∠l， ∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1， ∵∠l+（60°-∠l）+（120°-2∠1）+∠2 =180°， ∴∠2=2∠1， ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1/3。