Question

如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

（1）∵抛物线过（0，0）点．
∴n²-9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵顶点在第一象限，
∴-

b

2a

=n＞0且

4ac-b2

4a

=

-4n2

-4

=n²＞0（不写不扣分），
∴n=3（3分）
∴抛物线y=-x²+6x（4分）
顶点坐标为（3，9）．（5分）

（2）如图所示，作AH⊥x轴于H．
设M点的坐标为（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴

OQ

OH

=

MQ

AH

（7分）
∴

x

2

=

y

8

，
∴y=4x（8分）
由抛物线的对称性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x（10分）
∴当x=-

b

2a

=-

24

-16

=

3

2

时，（11分）MN=6-

3

2

×2=3时，S_MNPQ最大=-8×

9

4

+24×

3

2

=18，
答：MN等于3时，矩形MNPQ的最大面积是18．（12分）