Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

【小题1】求证：AD⊥DC
【小题2】若，，求的值以及AB的长．

Answer 1

【小题1】连接OC
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分
又∵CD与圆O相切
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCA=90°
∴∠CAO+∠DCA=90°
又∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC+∠DCA=90°
∴∠ADC=90°
即AD⊥DC                  ---------------------------------4分
【小题2】连接BC
∵AD⊥DC∴
因为AB为圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=∠ACB=90°
又∵∠DAC=∠CAO
∴△ADC∽△ACB
∴即    
∴                         ---------------------------------2分
        ---------------------------------3分   解析:
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证；
（2）先用勾股定理求出AC的长度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的长度，然后利用直角三角形的性质求出的值.