Question

【题目】(2016湖北襄阳第25题)

如图，已知点A的坐标为(-2，0)，直线y=-+3与x轴，y轴分别交于点B和点C,连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．

(1)请直接写出B，C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标；

(3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N点.Q从点B出发，以每秒l个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒)．当t(秒)为何值时，存在QMN为等腰直角三角形?

Answer 1

【答案】（1）(1)B(4，O)，C(0，3)，抛物线的解析式为顶点D的坐标为；（2）当点P坐标为(3，)时，四边形DEFP为平行四边形；（3）当t为或或时，存在△QMN为等腰直角三角形．

【解析】

试题分析：（1）由直线y=-+3的解析式即可得B，C两点的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据抛物线的解析式即可得抛物线的解析式；（2）设点P坐标为则点F的坐标为(m，-m+3)，根据四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得点P的坐标；（3）分别以点M、N、Q为直角顶点讨论解决即可.

试题解析：(1)B(4，O)，C(0，3)．

抛物线的解析式为

顶点D的坐标为

(2)把x=1代入

因点P为第一象限内抛物线上一点，所以可设点P坐标为

点F的坐标为(m，-m+3)．若四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE

即-m2+m+3-(-m+3)=

解之，得m1=3,m2=1(不合题意，舍去)．

∴当点P坐标为(3，)时，四边形DEFP为平行四边形．

(3)设点M的坐标为(n，-)，MN交y轴于点G．

∽BAC

①当∠Q1MN=90°，MN=MQ2=OG时，解之，MN=2．

解之，

②当时，容易求出

③当∠MQ3N=90°，Q3M=Q3N时，NM=Q3K=OG

解之，得MN=3．

解之，得n=2，即

MN的中点K的坐标为即

∴当t为或或时，存在△QMN为等腰直角三角形．