Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．

（1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

 

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；

（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥y于点E，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∠DAE+∠OAB=90°，

∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠DAE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°=∠AOB，

∵DE⊥AE

∴∠AED=90°=∠AOB，

∴△DAE≌△ABO（AAS），

∴DE=OA=4，AE=OB=3，

∴OE=7，

∴D（4，7）；

（2）过点C作CM⊥x轴于点M，

同上可证得△BCM≌△ABO，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，

∴OM=7，

∴C（7，3），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），

代入B（3，0），C（7，3）得，，

解得，

∴y=x﹣；

（3）存在．

点P与点B重合时，P1（3，0），

点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．

考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数