Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD．直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系，若抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）________．
②求抛物线的解析式．
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1，-4a）
分析：①首先求得对称轴，即是点B的横坐标，代入解析式即可求得点B的纵坐标，问题得以解决；
②由△OAD∽△CDB，得出对应线段的比相同求得a的值即可；
③利用三角形相似，等腰三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及连点之间的距离解答即可．
解答：①函数y=ax²-2ax-3a的对称轴x=1，代入解析式可得y=-4a，
所以顶点坐标为（1，-4a）；
故答案为（1，-4a）；
②∵∠BCD=∠AOD=90°，
∠CBD+∠BDC=∠ADO+∠BDC=90°，
即∠CBD=∠ADO，
∴△OAD∽△CDB，
∴，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
③存在，设P（x，-x²+2x+3），
∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，
∴PN=AN，当x＜0（x＜-1）时，
-x+3=-（-x²+2x+3），
x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5），
当x＞0（x＞3）时，
x-3=-（-x²+2x+3），
x₁=0，x₂=3（都不合题意舍去），
符合条件的点P为（-2，-5）．
点评：此题考查二次函数的顶点坐标，三角形相似的判定与性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，是一道较好的题目．