题目内容

在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．求证： $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ ．

证明：延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE．
∵∠A：∠B：∠C=1：2：4，
∴∠A= $\text{[math]}$ ，∠B= $\text{[math]}$ ，∠C= $\text{[math]}$ ，
∠EAC=180-2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠EAD= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =∠ABC；
∴BE=AE=AC=BD，∠D= $\text{[math]}$ ÷2= $\text{[math]}$ =∠BAC．
∴△ABC∽△ADE， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE．根据∠A：∠B：∠C=1：2：4，分别求出∠A，∠B，∠C，再利用三角形内角和定理求证∠EAD=∠ABC，再求证△ABC∽△ADE，利用其对应边成比例即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE．然后再利用相似三角形的对应边成比例求得结论，此题有一定难度，属于难题．