题目内容
1．探索：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC交BD于点O，两条对角线把梯形分割成4个小三角形，面积分别为S1，S2，S3，S4．（1）若DC：AB=1：2，则S1：S2：S3：S4=1：2：4：2；
（2）你猜想S1，S2，S3，S4四个数之间存在的等量关系是S1•S3=S2•S4（写出结果，不需证明）；
（3）如图对于任意四边形ABCD，S1，S2，S3，S4四个数之间上题的结论还成立吗？请说明理由．
分析 （1）由△ABO∽△CDO可得出相似比，进而得出两个三角形的面积比，再由等积变换可证明S2=S4，从而答案自然得出；
（2）注意到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，结论不言而喻；
（3）证明同（2）．
解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}=2$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}=（\frac{CD}{AB}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，
∴S1：S2：S3=1：2：4，
∵S1+S2=S1+S4，
∴S2=S4，
∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：2；
故答案为1：2：4：2；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，
∴S1•S3=S2•S4；
故答案为S1•S3=S2•S4；
（3）仍然成立．
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，
∴S1•S3=S2•S4．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等积变换，难度不大．事实上，本题所证结论正是小学奥数面积模型当中的蝴蝶定理，记住此结论对于解决相关的面积问题有很大的帮助．
练习册系列答案
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如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点G、F、G、H，分别是AO，BO，CO，DO上的点．