Question

如图，抛物线y=ax²+bx+（a≠0）经过A（-3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N。
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由。
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是。

Answer 1

解：（1）抛物线与x轴交于点A（-3，0），C（5，0） ∴ 解得 ∴抛物线的函数关系式为。
（2）①延长NM交AC于E，如图 ∵B为抛物线的顶点 ∴B（1，8） ∴BD=8，OD=1 又C（5，0） ∴CD=4 ∵PM⊥BD，BD⊥AC， ∴PM∥AC ∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD ∴△BPM∽△BDC ∴ 根据题意可得BP=t ∴ ∴ ∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°， ∴四边形PMED为矩形 ∴ ∴ ∴ ∵点N在抛物线上，横坐标为 ∴点N的纵坐标为 ∴ ∵PB=t，PD=ME ∴EM=8-t ∴ 当t=4时，MN最大=2。
②存在符合条件的t值，连接OP，如图 若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC ∵ ∴ ∴5-=1 解得t=6 ∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形。