Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E为AB的中点，在AC上求作点P，使EP+BP的值最小．
（1）画出点P的位置（保留作图痕迹，不写画法）；
（2）若AD=6，∠DAC=30°，求EP+BP的最小值．

Answer 1

分析：（1）连接DE交AC与点P或在AD边上取中点E′，再连接BE′交AC于点P都可以；
（2）首先证明△ABC≌△ADC，进而得出△ABD为等边三角形，由“三线合一”得DE⊥AB，最后用勾股定理求得EP+BP的最小值等于DE．

解答：解：（1）画法如图（连接DE交AC与点P或在AD边上取中点E′，再连接BE′交AC于点P都正确），
；

（2）如图3，连接BD，
∵在△ABC和△ADC中，

AD=AB DC=CB AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAB=2∠DAC=60°，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
由“三线合一”得DE⊥AB，
故EP+BP的最小值为：PE+PB=DE=

AD2-AE2

=

36-9

=3

3

．

点评：此题主要考查了轴对称最短路线求法以及全等三角形的判定和等边三角形的判定与性质等知识，得出DE=PE+PB是解题关键．