Question

【题目】如图，△AOB中，A（－8，0），B（0， ），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，

（1）求⊙P的半径；
（2）求证：EF为⊙P的切线；
（3）若点H是 上一动点，连接OH、FH，当点P在 上运动时，试探究 是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：依据题意有OA=8，OB= ，则tan∠BAO= ÷8= .

AC是∠BAO的角平分线，则 tan∠BAO= ，得tan∠CAO= 或-2（舍）.

已知AO=8，则tan∠CAO= = ，OC=4。

显然AD是圆P的直径，CO⊥AD，则易知 AOC∽ COD，

tan∠DCO=∠CAO= = ，OD=2.

所以AD=AO+DO=8+2=10.

圆P的半径 10÷2=5

故答案为5.

（2）

证明：连接CP，

∵AP=CP

∴∠PAC=∠PCA

∵AC平分∠OAB

∴∠PAC=∠EAC

∴∠PCA=∠EAC

∴PC//AE

∵CE⊥AB

∴CP⊥EF即EF是⊙P的切线

（3）

是定值， 连接PH

由（1）得AP=PC=PH=5，

∵A(-8,0)

∴OA=8

∴OP=OA-AP=3

在Rt△POC中，

由射影定理可得 ,

∴OF=

∴PF=PO+OF=

∵

∴

又∵∠HPO=∠FPH

∴△POH∽△PHF

∴

当H与D重合时，

【解析】（1）根据A、B两点的坐标表示出tan∠BAO的值，根据AC是∠BAO的角平分线，进而表示出tan∠CAO的值，已知AO的长度，表示出OC和OD的值，从而求出圆P的半径。（2）连接PC，已知CE⊥AB，证明PC//AB，则必然有PC⊥CE，从而证明EF是圆P的切线。（3）证明△POH∽△PHF，通过相似性，当H与D重合时， 。