Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．

解答：解：（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=6

2

，
∵DF∥AB，CD=

1

2

AC，
∴DF=

1

2

AB=3

2

，（1分）
∴DE=

3

2

2

，（1分）
在Rt△DEF中，cot∠DEF=

DE

DF

=

3 2 2

3 2

=

1

2

；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，
∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，HE=HA=

2

2

x，（1分）
∴HD=3-

2

2

x，
又可证△HDE∽△CFD，
∴

HD

CF

=

HE

DC

，（1分）
∴

3- 2 2 x

6-y

=

2 2 x

3

，
∴y=-

9 2

x

+9(

2

≤x≤3

2

)；（2分）

（3）∵CE≥

1

2

AB=3

2

＞3，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分）
当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：AE=2AG=3

2

，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；（2分）
当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠F=90°，
∴∠F=∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴

CF

DM

=

CD

EM

，
∴

CF

3 2

=

3

3+ 3 2

，
∴CF=1，∴BF=7，（2分）
综上所述，BF为6或7．

点评：本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．