Question

如图，正三角形ABC内接于圆O，P是BC所对劣弧上一点，求证：PA=PB+PC．

Answer 1

证明：证法1：以A为顶点，将△ABP旋转至点B与点C重合，如图所示：
根据旋转的性质知，PA=AD；△BAP≌△CAD，
∴CD=PB，
∵内接四边形的对角和为180°，
∴∠PCD=∠ACP+∠ACD=∠ACP+∠ABP=180°，
∴PA=PB+PC．

证法2：在AP上截取PQ，使PQ=PC．以A为顶点，作AD=AP，连接CD．如图所示：
∵∠PAB+∠PAC=∠DAC+∠PAC，
∴∠BAC=∠PAD，
又∵AD=AP，AB=AC，
∴△APD∽△ABC，
∴△PAD是等边三角形．
∴∠APD=60°，
则△PCQ是正三角形，
∴QC=PC=QP，
∴△BPC≌△AQC，
则BP=AQ，
∴PA=PB+PC．
分析：以A为顶点，将△ABP旋转至点B与点C重合．根据旋转的性质易知PA=AD，∠BAP=∠CAD；然后根据全等三角形的判定定理SAS知△BAP≌△CAD，再由全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）得，CD=PB；根据以上的条件可知PA=PB+PC．
点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．解答本题借助于旋转的性质，构建了与△APB全等的△CAD．