Question

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．．
（1）仔细观察图形并写出四个不同类型的正确结论：①______，②______，
③______，④______（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求△BDE的面积．

Answer 1

解：（1）①AD⊥BD，（BC⊥AB），（∠ADB=∠ABC=90°）；②DE∥BC；③∠BDE=∠E=∠A=∠CBD；④BD=BE，DF=EF，⑤△BFD≌△BFE；⑥=，=，⑦S_△DBF=S_△EBF 等．
故答案为：①AD⊥BD，②DE∥BC，③BD=BE，④=；

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∵∠A=30°，
∴，
∵AB⊥DE，
DF=EF=DE，
在Rt△ADF中，∠A=30°，
∴，BF=AB-AF=4-3=1，
∴．
分析：（1）由BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，可得AD⊥BD，AB⊥BC，继而由DE⊥AB，可得DE∥BC，由垂径定理，易得BD=BE，=等；
（2）由AB为直径，∠A=30°，⊙O的半径为2，根据直角三角形的性质，易求得BD的长，继而由垂径定理与勾股定理即可求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．