Question

如图，直线y=-x+6分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P是线段AB上的动点，BP=t（0＜t＜8），点Q（8-t，0）是x轴上的动点，
（1）求AB的长；
（2）当t取何值时，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据解析式求出求出直线与A点与B点的交点坐标，就可以求出OA、OB的值，根据勾股定理就可以求出AB的值；
（2）△APQ是等腰三角形，可以分：PA=AQ；PA=PQ；AQ=PQ三种情况讨论，利用等腰三角形的定义，以及等腰三角形的性质即可求解．
解答：解：（1）∵y=-x+6，当y=0时，x=8，
当x=0时，y=6，
∴A（0，8），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB==10．
答：AB的长是10．

（2）①当PA=AQ时，
10-t=8-（8-t），
解得：t=5
②当PA=PQ时，作PH⊥x轴于H，
∴∠PHA=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠PAH=∠BAO，
∴△PAH∽△BAO，
∴，
∴=，
解得：t=；
③当AQ=PQ时，作PM⊥PA于M，
证明△AQM∽△ABO
∴=，
=，
解得：t=．
点评：本题考查了一次函数与等腰三角形的性质以及相似三角形的综合应用，正确分情况讨论是关键．